פתור את {l}{text{(1)}y=2x+1}{text{(2)}y=-x+4}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (1) } y = 2 x + 1 } \\ { \text { (2) } y = - x + 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=1$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=1$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎x משני הצדדים.

$$y+x=4$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-2x=1,y+x=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-2x=1$$

הוסף ‎2x לשני אגפי המשוואה.

$$y=2x+1$$

השתמש ב- ‎2x+1 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y+x=4.

$$2x+1+x=4$$

הוסף את ‎2x ל- ‎x.

$$3x+1=4$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$3x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎y=2x+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=2+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎2.

$$y=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=3,x=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=1$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎x משני הצדדים.

$$y+x=4$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-2x=1,y+x=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 4\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=3,x=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=1$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎x משני הצדדים.

$$y+x=4$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-2x=1,y+x=4$$

החסר את ‎y+x=4 מ- ‎y-2x=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-2x-x=1-4$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2x-x=1-4$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎-x.

$$-3x=1-4$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-4.

$$-3x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎y+x=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y+1=4$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$y=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=3,x=1$$