פתור את {l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=-10$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 10, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,10.

$$2x-20=y$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$2x-20-y=0$$

הוסף ‎20 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$2x-y=20$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎7y משני הצדדים.

$$5x+45+7y=0$$

החסר ‎45 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$5x+7y=-45$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-y=20$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=y+20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎y+20.

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2}+10 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+7y=-45.

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{y}{2}+10.

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

הוסף את ‎\frac{5y}{2} ל- ‎7y.

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

החסר ‎50 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{19}{2}y=-95$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{19}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-10$$

השתמש ב- ‎-10 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y+10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-10.

$$x=-5+10$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-5.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-10$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 10, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,10.

$$2x-20=y$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$2x-20-y=0$$

הוסף ‎20 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$2x-y=20$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎7y משני הצדדים.

$$5x+45+7y=0$$

החסר ‎45 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$5x+7y=-45$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=-10$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 10, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,10.

$$2x-20=y$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$2x-20-y=0$$

הוסף ‎20 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$2x-y=20$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎7y משני הצדדים.

$$5x+45+7y=0$$

החסר ‎45 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$5x+7y=-45$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

פשט.

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

החסר את ‎10x+14y=-90 מ- ‎10x-5y=100 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-5y-14y=100+90$$

הוסף את ‎-5y ל- ‎-14y.

$$-19y=100+90$$

הוסף את ‎100 ל- ‎90.

$$-19y=190$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-19.

$$y=-10$$

השתמש ב- ‎-10 במקום y ב- ‎5x+7y=-45. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-10.

$$5x-70=-45$$

הוסף ‎70 לשני אגפי המשוואה.

$$5x=25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-10$$