פתור את {l}{x/4-3/8y=3}{5/3x-y/2=12}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } - \frac { 3 } { 8 } y = 3 } \\ { \frac { 5 } { 3 } x - \frac { y } { 2 } = 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 8, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,8.

$$2x-3y=24$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$10x-3y=72$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=24$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y+24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎24+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{2}+12 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎10x-3y=72.

$$10\left(\frac{3}{2}y+12\right)-3y=72$$

הכפל את ‎10 ב- ‎\frac{3y}{2}+12.

$$15y+120-3y=72$$

הוסף את ‎15y ל- ‎-3y.

$$12y+120=72$$

החסר ‎120 משני אגפי המשוואה.

$$12y=-48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y+12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\left(-4\right)+12$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎-4.

$$x=-6+12$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-6.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 8, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,8.

$$2x-3y=24$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$10x-3y=72$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\\-\frac{10}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 24+\frac{1}{8}\times 72\\-\frac{5}{12}\times 24+\frac{1}{12}\times 72\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 8, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,8.

$$2x-3y=24$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$10x-3y=72$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

החסר את ‎10x-3y=72 מ- ‎2x-3y=24 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-10x-3y+3y=24-72$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎3y. האיברים ‎-3y ו- ‎3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x-10x=24-72$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-10x.

$$-8x=24-72$$

הוסף את ‎24 ל- ‎-72.

$$-8x=-48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום x ב- ‎10x-3y=72. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$10\times 6-3y=72$$

הכפל את ‎10 ב- ‎6.

$$60-3y=72$$

החסר ‎60 משני אגפי המשוואה.

$$-3y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-4$$