פתור את {l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 50, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

הכפל את ‎2 ו- ‎27 כדי לקבל ‎54.

$$54x+45y=50400$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$54x+45y=50400$$

החסר ‎45y משני אגפי המשוואה.

$$54x=-45y+50400$$

חלק את שני האגפים ב- ‎54.

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{54} ב- ‎-45y+50400.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

הכפל את ‎\frac{11}{10} ב- ‎-\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

הוסף את ‎-\frac{11y}{12} ל- ‎\frac{43y}{5}.

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

החסר ‎\frac{3080}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{461}{60}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{80}{461}$$

השתמש ב- ‎\frac{80}{461} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{6} ב- ‎\frac{80}{461} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

הוסף את ‎\frac{2800}{3} ל- ‎-\frac{200}{1383} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{430200}{461}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 50, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

הכפל את ‎2 ו- ‎27 כדי לקבל ‎54.

$$54x+45y=50400$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 50, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

הכפל את ‎2 ו- ‎27 כדי לקבל ‎54.

$$54x+45y=50400$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

כדי להפוך את ‎54x ו- ‎\frac{11x}{10} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{11}{10} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎54.

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

פשט.

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

החסר את ‎\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512 מ- ‎\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

הוסף את ‎\frac{297x}{5} ל- ‎-\frac{297x}{5}. האיברים ‎\frac{297x}{5} ו- ‎-\frac{297x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

הוסף את ‎\frac{99y}{2} ל- ‎-\frac{2322y}{5}.

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

הוסף את ‎55440 ל- ‎-55512.

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{4149}{10}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{80}{461}$$

השתמש ב- ‎\frac{80}{461} במקום y ב- ‎\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

הכפל את ‎\frac{43}{5} ב- ‎\frac{80}{461} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

החסר ‎\frac{688}{461} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{10}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{430200}{461}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$