פתור את {l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=7$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

כנס את ‎8x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

כנס את ‎-4y ו- ‎6y כדי לקבל ‎2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

החסר את 9 מ- 12 כדי לקבל 3.

$$5x+2y+3=48$$

החסר ‎3 משני האגפים.

$$5x+2y=48-3$$

החסר את 3 מ- 48 כדי לקבל 45.

$$5x+2y=45$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

כנס את ‎9x ו- ‎16x כדי לקבל ‎25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

כנס את ‎-12y ו- ‎-8y כדי לקבל ‎-20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

החסר את 36 מ- 9 כדי לקבל -27.

$$25x-20y-27=48$$

הוסף ‎27 משני הצדדים.

$$25x-20y=48+27$$

חבר את ‎48 ו- ‎27 כדי לקבל ‎75.

$$25x-20y=75$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+2y=45$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-2y+45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-2y+45.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

השתמש ב- ‎-\frac{2y}{5}+9 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎25x-20y=75.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

הכפל את ‎25 ב- ‎-\frac{2y}{5}+9.

$$-10y+225-20y=75$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎-20y.

$$-30y+225=75$$

החסר ‎225 משני אגפי המשוואה.

$$-30y=-150$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-30.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{5}y+9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

הכפל את ‎-\frac{2}{5} ב- ‎5.

$$x=-2+9$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-2.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

כנס את ‎8x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

כנס את ‎-4y ו- ‎6y כדי לקבל ‎2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

החסר את 9 מ- 12 כדי לקבל 3.

$$5x+2y+3=48$$

החסר ‎3 משני האגפים.

$$5x+2y=48-3$$

החסר את 3 מ- 48 כדי לקבל 45.

$$5x+2y=45$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

כנס את ‎9x ו- ‎16x כדי לקבל ‎25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

כנס את ‎-12y ו- ‎-8y כדי לקבל ‎-20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

החסר את 36 מ- 9 כדי לקבל -27.

$$25x-20y-27=48$$

הוסף ‎27 משני הצדדים.

$$25x-20y=48+27$$

חבר את ‎48 ו- ‎27 כדי לקבל ‎75.

$$25x-20y=75$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=7,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

כנס את ‎8x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

כנס את ‎-4y ו- ‎6y כדי לקבל ‎2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

החסר את 9 מ- 12 כדי לקבל 3.

$$5x+2y+3=48$$

החסר ‎3 משני האגפים.

$$5x+2y=48-3$$

החסר את 3 מ- 48 כדי לקבל 45.

$$5x+2y=45$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

כנס את ‎9x ו- ‎16x כדי לקבל ‎25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

כנס את ‎-12y ו- ‎-8y כדי לקבל ‎-20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

החסר את 36 מ- 9 כדי לקבל -27.

$$25x-20y-27=48$$

הוסף ‎27 משני הצדדים.

$$25x-20y=48+27$$

חבר את ‎48 ו- ‎27 כדי לקבל ‎75.

$$25x-20y=75$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎25x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎25 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

פשט.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

החסר את ‎125x-100y=375 מ- ‎125x+50y=1125 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

הוסף את ‎125x ל- ‎-125x. האיברים ‎125x ו- ‎-125x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$50y+100y=1125-375$$

הוסף את ‎50y ל- ‎100y.

$$150y=1125-375$$

הוסף את ‎1125 ל- ‎-375.

$$150y=750$$

חלק את שני האגפים ב- ‎150.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎25x-20y=75. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$25x-20\times 5=75$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎5.

$$25x-100=75$$

הוסף ‎100 לשני אגפי המשוואה.

$$25x=175$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=5$$