פתור את {l}{2x+3/3y-2=1}{x(2y-5)-2y(x+3)=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 3 } { 3 y - 2 } = 1 } \\ { x ( 2 y - 5 ) - 2 y ( x + 3 ) = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה ל- ‎\frac{2}{3} מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$2x+3-3y=-2$$

החסר ‎3 משני האגפים.

$$2x-3y=-2-3$$

החסר את 3 מ- -2 כדי לקבל -5.

$$2x-3y=-5$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x ב- 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2y ב- x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

כנס את ‎2xy ו- ‎-2yx כדי לקבל ‎0.

$$-5x-6y-2x=1$$

כנס את ‎-5x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-7x.

$$-7x-6y=1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=-5$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y-5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-7x-6y=1.

$$-7\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-6y=1$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎\frac{3y-5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-6y=1$$

הוסף את ‎-\frac{21y}{2} ל- ‎-6y.

$$-\frac{33}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

החסר ‎\frac{35}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{33}{2}y=-\frac{33}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{33}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3-5}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{2} ל- ‎\frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה ל- ‎\frac{2}{3} מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$2x+3-3y=-2$$

החסר ‎3 משני האגפים.

$$2x-3y=-2-3$$

החסר את 3 מ- -2 כדי לקבל -5.

$$2x-3y=-5$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x ב- 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2y ב- x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

כנס את ‎2xy ו- ‎-2yx כדי לקבל ‎0.

$$-5x-6y-2x=1$$

כנס את ‎-5x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-7x.

$$-7x-6y=1$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}\left(-5\right)-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה ל- ‎\frac{2}{3} מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$2x+3-3y=-2$$

החסר ‎3 משני האגפים.

$$2x-3y=-2-3$$

החסר את 3 מ- -2 כדי לקבל -5.

$$2x-3y=-5$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x ב- 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2y ב- x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

כנס את ‎2xy ו- ‎-2yx כדי לקבל ‎0.

$$-5x-6y-2x=1$$

כנס את ‎-5x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-7x.

$$-7x-6y=1$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-7\times 2x-7\left(-3\right)y=-7\left(-5\right),2\left(-7\right)x+2\left(-6\right)y=2$$

פשט.

$$-14x+21y=35,-14x-12y=2$$

החסר את ‎-14x-12y=2 מ- ‎-14x+21y=35 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-14x+14x+21y+12y=35-2$$

הוסף את ‎-14x ל- ‎14x. האיברים ‎-14x ו- ‎14x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$21y+12y=35-2$$

הוסף את ‎21y ל- ‎12y.

$$33y=35-2$$

הוסף את ‎35 ל- ‎-2.

$$33y=33$$

חלק את שני האגפים ב- ‎33.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎-7x-6y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-7x-6=1$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$-7x=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=1$$