פתור את {l}{1/2x-2/3y-5=0}{3y+x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 2 } { 3 } y - 5 = 0 } \\ { 3 y + x = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{114}{13} = 8\frac{10}{13} \approx 8.769230769$$

$$y=-\frac{12}{13}\approx -0.923076923$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=5$$

הוסף ‎\frac{2y}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}y+5$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=2\left(\frac{2}{3}y+5\right)$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{2y}{3}+5.

$$x=\frac{4}{3}y+10$$

השתמש ב- ‎\frac{4y}{3}+10 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+3y=6.

$$\frac{4}{3}y+10+3y=6$$

הוסף את ‎\frac{4y}{3} ל- ‎3y.

$$\frac{13}{3}y+10=6$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{13}{3}y=-4$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{13}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{12}{13}$$

השתמש ב- ‎-\frac{12}{13} במקום y ב- ‎x=\frac{4}{3}y+10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{12}{13}\right)+10$$

הכפל את ‎\frac{4}{3} ב- ‎-\frac{12}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{16}{13}+10$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-\frac{16}{13}.

$$x=\frac{114}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}&\frac{4}{13}\\-\frac{6}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\times 5+\frac{4}{13}\times 6\\-\frac{6}{13}\times 5+\frac{3}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{114}{13}\\-\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

כדי להפוך את ‎\frac{x}{2} ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎\frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\times 3y=\frac{1}{2}\times 6$$

פשט.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3$$

החסר את ‎\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3 מ- ‎\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

הוסף את ‎\frac{x}{2} ל- ‎-\frac{x}{2}. האיברים ‎\frac{x}{2} ו- ‎-\frac{x}{2} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{3} ל- ‎-\frac{3y}{2}.

$$-\frac{13}{6}y-5=-3$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{13}{6}y=2$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{13}{6}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{12}{13}$$

השתמש ב- ‎-\frac{12}{13} במקום y ב- ‎x+3y=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+3\left(-\frac{12}{13}\right)=6$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{12}{13}.

$$x-\frac{36}{13}=6$$

הוסף ‎\frac{36}{13} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{114}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$