פתור את {c}{y=2x+16}{-3x+y=20}

$$\left. \begin{array} { c } { y = 2 x + 16 } \\ { - 3 x + y = 20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=-4$$

$$y=8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=16$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-2x=16,y-3x=20$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-2x=16$$

הוסף ‎2x לשני אגפי המשוואה.

$$y=2x+16$$

השתמש ב- ‎16+2x במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-3x=20.

$$2x+16-3x=20$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-3x.

$$-x+16=20$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$-x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום x ב- ‎y=2x+16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=2\left(-4\right)+16$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-4.

$$y=-8+16$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-8.

$$y=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=8,x=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=16$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-2x=16,y-3x=20$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16-2\times 20\\16-20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=8,x=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=16$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-2x=16,y-3x=20$$

החסר את ‎y-3x=20 מ- ‎y-2x=16 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-2x+3x=16-20$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2x+3x=16-20$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎3x.

$$x=16-20$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-20.

$$x=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום x ב- ‎y-3x=20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-3\left(-4\right)=20$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-4.

$$y+12=20$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$y=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=8,x=-4$$