פתור את {c}{x+y=1}{y=1/3x-3}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 1 } \\ { y = \frac { 1 } { 3 } x - 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{3}x=-3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=1,-\frac{1}{3}x+y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=1$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+1$$

השתמש ב- ‎-y+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-\frac{1}{3}x+y=-3.

$$-\frac{1}{3}\left(-y+1\right)+y=-3$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-y+1.

$$\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}+y=-3$$

הוסף את ‎\frac{y}{3} ל- ‎y.

$$\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}=-3$$

הוסף ‎\frac{1}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{4}{3}y=-\frac{8}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{4}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=-y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\left(-2\right)+1$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-2.

$$x=2+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎2.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{3}x=-3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=1,-\frac{1}{3}x+y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{3}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\left(-3\right)\\\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{3}x=-3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=1,-\frac{1}{3}x+y=-3$$

החסר את ‎-\frac{1}{3}x+y=-3 מ- ‎x+y=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x+\frac{1}{3}x+y-y=1+3$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x+\frac{1}{3}x=1+3$$

הוסף את ‎x ל- ‎\frac{x}{3}.

$$\frac{4}{3}x=1+3$$

הוסף את ‎1 ל- ‎3.

$$\frac{4}{3}x=4$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{4}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום x ב- ‎-\frac{1}{3}x+y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-\frac{1}{3}\times 3+y=-3$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎3.

$$-1+y=-3$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$y=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-2$$