פתור את {c}{3x+2y=6}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 6 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$y = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=6,x-y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=6$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y+6.

$$x=-\frac{2}{3}y+2$$

השתמש ב- ‎-\frac{2y}{3}+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-y=4.

$$-\frac{2}{3}y+2-y=4$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{3} ל- ‎-y.

$$-\frac{5}{3}y+2=4$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{3}y=2$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{6}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{6}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{6}{5}\right)+2$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎-\frac{6}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{4}{5}+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎\frac{4}{5}.

$$x=\frac{14}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{14}{5},y=-\frac{6}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=6,x-y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 6+\frac{2}{5}\times 4\\\frac{1}{5}\times 6-\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{5}\\-\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{14}{5},y=-\frac{6}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=6,x-y=4$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$3x+2y=6,3x+3\left(-1\right)y=3\times 4$$

פשט.

$$3x+2y=6,3x-3y=12$$

החסר את ‎3x-3y=12 מ- ‎3x+2y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x+2y+3y=6-12$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y+3y=6-12$$

הוסף את ‎2y ל- ‎3y.

$$5y=6-12$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-12.

$$5y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-\frac{6}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{6}{5} במקום y ב- ‎x-y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-\left(-\frac{6}{5}\right)=4$$

החסר ‎\frac{6}{5} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{14}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{14}{5},y=-\frac{6}{5}$$