פתור את {c}{3a=c+4+a/2}{a=c}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 a = c + 4 + \frac { a } { 2 } } \\ { a = c } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, c

$$a = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$c = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$6a=2c+8+a$$

החסר ‎2c משני האגפים.

$$6a-2c=8+a$$

החסר ‎a משני האגפים.

$$6a-2c-a=8$$

כנס את ‎6a ו- ‎-a כדי לקבל ‎5a.

$$5a-2c=8$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎c משני האגפים.

$$a-c=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5a-2c=8,a-c=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5a-2c=8$$

הוסף ‎2c לשני אגפי המשוואה.

$$5a=2c+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$a=\frac{1}{5}\left(2c+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎8+2c.

$$a=\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{8+2c}{5} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎a-c=0.

$$\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}-c=0$$

הוסף את ‎\frac{2c}{5} ל- ‎-c.

$$-\frac{3}{5}c+\frac{8}{5}=0$$

החסר ‎\frac{8}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{5}c=-\frac{8}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$c=\frac{8}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{8}{3} במקום c ב- ‎a=\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=\frac{2}{5}\times \frac{8}{3}+\frac{8}{5}$$

הכפל את ‎\frac{2}{5} ב- ‎\frac{8}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=\frac{16}{15}+\frac{8}{5}$$

הוסף את ‎\frac{8}{5} ל- ‎\frac{16}{15} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=\frac{8}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$6a=2c+8+a$$

החסר ‎2c משני האגפים.

$$6a-2c=8+a$$

החסר ‎a משני האגפים.

$$6a-2c-a=8$$

כנס את ‎6a ו- ‎-a כדי לקבל ‎5a.

$$5a-2c=8$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎c משני האגפים.

$$a-c=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5a-2c=8,a-c=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- c.

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$6a=2c+8+a$$

החסר ‎2c משני האגפים.

$$6a-2c=8+a$$

החסר ‎a משני האגפים.

$$6a-2c-a=8$$

כנס את ‎6a ו- ‎-a כדי לקבל ‎5a.

$$5a-2c=8$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎c משני האגפים.

$$a-c=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5a-2c=8,a-c=0$$

כדי להפוך את ‎5a ו- ‎a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$5a-2c=8,5a+5\left(-1\right)c=0$$

פשט.

$$5a-2c=8,5a-5c=0$$

החסר את ‎5a-5c=0 מ- ‎5a-2c=8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5a-5a-2c+5c=8$$

הוסף את ‎5a ל- ‎-5a. האיברים ‎5a ו- ‎-5a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2c+5c=8$$

הוסף את ‎-2c ל- ‎5c.

$$3c=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$c=\frac{8}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{8}{3} במקום c ב- ‎a-c=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a-\frac{8}{3}=0$$

הוסף ‎\frac{8}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$a=\frac{8}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$