פתור את {c}{10x+14y=460}{x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 x + 14 y = 460 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=25$$

$$y=15$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$10x+14y=460$$

החסר ‎14y משני אגפי המשוואה.

$$10x=-14y+460$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-14y+460\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{10} ב- ‎-14y+460.

$$x=-\frac{7}{5}y+46$$

השתמש ב- ‎-\frac{7y}{5}+46 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=40.

$$-\frac{7}{5}y+46+y=40$$

הוסף את ‎-\frac{7y}{5} ל- ‎y.

$$-\frac{2}{5}y+46=40$$

החסר ‎46 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{2}{5}y=-6$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{2}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=15$$

השתמש ב- ‎15 במקום y ב- ‎x=-\frac{7}{5}y+46. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{7}{5}\times 15+46$$

הכפל את ‎-\frac{7}{5} ב- ‎15.

$$x=-21+46$$

הוסף את ‎46 ל- ‎-21.

$$x=25$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=25,y=15$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-14}&-\frac{14}{10-14}\\-\frac{1}{10-14}&\frac{10}{10-14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 460+\frac{7}{2}\times 40\\\frac{1}{4}\times 460-\frac{5}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=25,y=15$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

כדי להפוך את ‎10x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎10.

$$10x+14y=460,10x+10y=10\times 40$$

פשט.

$$10x+14y=460,10x+10y=400$$

החסר את ‎10x+10y=400 מ- ‎10x+14y=460 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+14y-10y=460-400$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$14y-10y=460-400$$

הוסף את ‎14y ל- ‎-10y.

$$4y=460-400$$

הוסף את ‎460 ל- ‎-400.

$$4y=60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=15$$

השתמש ב- ‎15 במקום y ב- ‎x+y=40. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+15=40$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$x=25$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=25,y=15$$