פתור את {c}{-7u-10v=116}{-7u+10v=-4}

$$\left. \begin{array} { c } { - 7 u - 10 v = 116 } \\ { - 7 u + 10 v = - 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור u, v

$$u=-8$$

$$v=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור u על-ידי בידוד u בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-7u-10v=116$$

הוסף ‎10v לשני אגפי המשוואה.

$$-7u=10v+116$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$u=-\frac{1}{7}\left(10v+116\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{7} ב- ‎10v+116.

$$u=-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-10v-116}{7} במקום ‎u במשוואה השניה, ‎-7u+10v=-4.

$$-7\left(-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}\right)+10v=-4$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎\frac{-10v-116}{7}.

$$10v+116+10v=-4$$

הוסף את ‎10v ל- ‎10v.

$$20v+116=-4$$

החסר ‎116 משני אגפי המשוואה.

$$20v=-120$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$v=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום v ב- ‎u=-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את u ישירות.

$$u=-\frac{10}{7}\left(-6\right)-\frac{116}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{10}{7} ב- ‎-6.

$$u=\frac{60-116}{7}$$

הוסף את ‎-\frac{116}{7} ל- ‎\frac{60}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$u=-8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$u=-8,v=-6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}&-\frac{-10}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}&-\frac{7}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{20}&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\times 116-\frac{1}{14}\left(-4\right)\\-\frac{1}{20}\times 116+\frac{1}{20}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה u ו- v.

$$u=-8,v=-6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

החסר את ‎-7u+10v=-4 מ- ‎-7u-10v=116 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-7u+7u-10v-10v=116+4$$

הוסף את ‎-7u ל- ‎7u. האיברים ‎-7u ו- ‎7u מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-10v-10v=116+4$$

הוסף את ‎-10v ל- ‎-10v.

$$-20v=116+4$$

הוסף את ‎116 ל- ‎4.

$$-20v=120$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-20.

$$v=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום v ב- ‎-7u+10v=-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את u ישירות.

$$-7u+10\left(-6\right)=-4$$

הכפל את ‎10 ב- ‎-6.

$$-7u-60=-4$$

הוסף ‎60 לשני אגפי המשוואה.

$$-7u=56$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$u=-8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$u=-8,v=-6$$