פתור את {c}{-3a+5b=11}{6a+2b=26}

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 a + 5 b = 11 } \\ { 6 a + 2 b = 26 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=3$$

$$b=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-3a+5b=11,6a+2b=26$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-3a+5b=11$$

החסר ‎5b משני אגפי המשוואה.

$$-3a=-5b+11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-5b+11\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-5b+11.

$$a=\frac{5}{3}b-\frac{11}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{5b-11}{3} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎6a+2b=26.

$$6\left(\frac{5}{3}b-\frac{11}{3}\right)+2b=26$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{5b-11}{3}.

$$10b-22+2b=26$$

הוסף את ‎10b ל- ‎2b.

$$12b-22=26$$

הוסף ‎22 לשני אגפי המשוואה.

$$12b=48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$b=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום b ב- ‎a=\frac{5}{3}b-\frac{11}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=\frac{5}{3}\times 4-\frac{11}{3}$$

הכפל את ‎\frac{5}{3} ב- ‎4.

$$a=\frac{20-11}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{11}{3} ל- ‎\frac{20}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=3,b=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-3a+5b=11,6a+2b=26$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-3\times 2-5\times 6}&-\frac{5}{-3\times 2-5\times 6}\\-\frac{6}{-3\times 2-5\times 6}&-\frac{3}{-3\times 2-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}&\frac{5}{36}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}\times 11+\frac{5}{36}\times 26\\\frac{1}{6}\times 11+\frac{1}{12}\times 26\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=3,b=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-3a+5b=11,6a+2b=26$$

כדי להפוך את ‎-3a ו- ‎6a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-3.

$$6\left(-3\right)a+6\times 5b=6\times 11,-3\times 6a-3\times 2b=-3\times 26$$

פשט.

$$-18a+30b=66,-18a-6b=-78$$

החסר את ‎-18a-6b=-78 מ- ‎-18a+30b=66 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-18a+18a+30b+6b=66+78$$

הוסף את ‎-18a ל- ‎18a. האיברים ‎-18a ו- ‎18a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$30b+6b=66+78$$

הוסף את ‎30b ל- ‎6b.

$$36b=66+78$$

הוסף את ‎66 ל- ‎78.

$$36b=144$$

חלק את שני האגפים ב- ‎36.

$$b=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום b ב- ‎6a+2b=26. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$6a+2\times 4=26$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$6a+8=26$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$6a=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$a=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=3,b=4$$