פתור את {l}{y=9-2x}{3x+2y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 9 - 2 x } \\ { 3 x + 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=9$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y+2x=9$$

החסר ‎2x משני אגפי המשוואה.

$$y=-2x+9$$

השתמש ב- ‎-2x+9 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎2y+3x=16.

$$2\left(-2x+9\right)+3x=16$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2x+9.

$$-4x+18+3x=16$$

הוסף את ‎-4x ל- ‎3x.

$$-x+18=16$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$-x=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום x ב- ‎y=-2x+9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-2\times 2+9$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎2.

$$y=-4+9$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-4.

$$y=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=5,x=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=9$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{1}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 9+2\times 16\\2\times 9-16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=5,x=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=9$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎2y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2y+2\times 2x=2\times 9,2y+3x=16$$

פשט.

$$2y+4x=18,2y+3x=16$$

החסר את ‎2y+3x=16 מ- ‎2y+4x=18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2y-2y+4x-3x=18-16$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-2y. האיברים ‎2y ו- ‎-2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4x-3x=18-16$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-3x.

$$x=18-16$$

הוסף את ‎18 ל- ‎-16.

$$x=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום x ב- ‎2y+3x=16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2y+3\times 2=16$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2.

$$2y+6=16$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$2y=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=5,x=2$$