פתור את {l}{y=-4x-3}{y=-2x+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 4 x - 3 } \\ { y = - 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=-2$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎4x משני הצדדים.

$$y+4x=-3$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y+4x=-3,y+2x=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y+4x=-3$$

החסר ‎4x משני אגפי המשוואה.

$$y=-4x-3$$

השתמש ב- ‎-4x-3 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y+2x=1.

$$-4x-3+2x=1$$

הוסף את ‎-4x ל- ‎2x.

$$-2x-3=1$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$-2x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום x ב- ‎y=-4x-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-4\left(-2\right)-3$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-2.

$$y=8-3$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎8.

$$y=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=5,x=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎4x משני הצדדים.

$$y+4x=-3$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=1$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y+4x=-3,y+2x=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)+2\\\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=5,x=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎4x משני הצדדים.

$$y+4x=-3$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=1$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y+4x=-3,y+2x=1$$

החסר את ‎y+2x=1 מ- ‎y+4x=-3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y+4x-2x=-3-1$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4x-2x=-3-1$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-2x.

$$2x=-3-1$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎-1.

$$2x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום x ב- ‎y+2x=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y+2\left(-2\right)=1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2.

$$y-4=1$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$y=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=5,x=-2$$