פתור את {l}{x-3y=-3}{2x-y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 y = - 3 } \\ { 2 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-3y=-3,2x-y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-3y=-3$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$x=3y-3$$

השתמש ב- ‎-3+3y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-y=4.

$$2\left(3y-3\right)-y=4$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-3+3y.

$$6y-6-y=4$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-y.

$$5y-6=4$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$5y=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=3y-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=3\times 2-3$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2.

$$x=6-3$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎6.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-3y=-3,2x-y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-3\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{3}{5}\times 4\\-\frac{2}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-3y=-3,2x-y=4$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2\left(-3\right)y=2\left(-3\right),2x-y=4$$

פשט.

$$2x-6y=-6,2x-y=4$$

החסר את ‎2x-y=4 מ- ‎2x-6y=-6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x-6y+y=-6-4$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y+y=-6-4$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎y.

$$-5y=-6-4$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎-4.

$$-5y=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎2x-y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-2=4$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=2$$