פתור את {l}{x-2y=-6}{6x+8y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = - 6 } \\ { 6 x + 8 y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y = \frac{19}{10} = 1\frac{9}{10} = 1.9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-2y=-6$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$x=2y-6$$

השתמש ב- ‎-6+2y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x+8y=2.

$$6\left(2y-6\right)+8y=2$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-6+2y.

$$12y-36+8y=2$$

הוסף את ‎12y ל- ‎8y.

$$20y-36=2$$

הוסף ‎36 לשני אגפי המשוואה.

$$20y=38$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$y=\frac{19}{10}$$

השתמש ב- ‎\frac{19}{10} במקום y ב- ‎x=2y-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=2\times \frac{19}{10}-6$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{19}{10}.

$$x=\frac{19}{5}-6$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎\frac{19}{5}.

$$x=-\frac{11}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{8-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{8-\left(-2\times 6\right)}&\frac{1}{8-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{10}\times 2\\-\frac{3}{10}\left(-6\right)+\frac{1}{20}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{19}{10}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$6x+6\left(-2\right)y=6\left(-6\right),6x+8y=2$$

פשט.

$$6x-12y=-36,6x+8y=2$$

החסר את ‎6x+8y=2 מ- ‎6x-12y=-36 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-12y-8y=-36-2$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12y-8y=-36-2$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎-8y.

$$-20y=-36-2$$

הוסף את ‎-36 ל- ‎-2.

$$-20y=-38$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-20.

$$y=\frac{19}{10}$$

השתמש ב- ‎\frac{19}{10} במקום y ב- ‎6x+8y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x+8\times \frac{19}{10}=2$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{19}{10}.

$$6x+\frac{76}{5}=2$$

החסר ‎\frac{76}{5} משני אגפי המשוואה.

$$6x=-\frac{66}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=-\frac{11}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$