פתור את {l}{x=3y+4}{y=1/2x-8/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y + 4 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 8 } { 3 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=8$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x-3y=4$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{2}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-3y=4$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$x=3y+4$$

השתמש ב- ‎3y+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}.

$$-\frac{1}{2}\left(3y+4\right)+y=-\frac{8}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎3y+4.

$$-\frac{3}{2}y-2+y=-\frac{8}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎y.

$$-\frac{1}{2}y-2=-\frac{8}{3}$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{4}{3} במקום y ב- ‎x=3y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=3\times \frac{4}{3}+4$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{4}{3}.

$$x=4+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎4.

$$x=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x-3y=4$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{2}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-6\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-6\left(-\frac{8}{3}\right)\\-4-2\left(-\frac{8}{3}\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$x-3y=4$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{2}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-\frac{x}{2} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-\frac{1}{2} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\left(-3\right)y=-\frac{1}{2}\times 4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

פשט.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

החסר את ‎-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3} מ- ‎-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{x}{2} ל- ‎\frac{x}{2}. האיברים ‎-\frac{x}{2} ו- ‎\frac{x}{2} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

הוסף את ‎\frac{3y}{2} ל- ‎-y.

$$\frac{1}{2}y=-2+\frac{8}{3}$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎\frac{8}{3}.

$$\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{4}{3} במקום y ב- ‎-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

החסר ‎\frac{4}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{2}x=-4$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$