פתור את {l}{x+y=50}{5x+7y=300}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 50 } \\ { 5 x + 7 y = 300 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=25$$

$$y=25$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=50,5x+7y=300$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=50$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+50$$

השתמש ב- ‎-y+50 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+7y=300.

$$5\left(-y+50\right)+7y=300$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-y+50.

$$-5y+250+7y=300$$

הוסף את ‎-5y ל- ‎7y.

$$2y+250=300$$

החסר ‎250 משני אגפי המשוואה.

$$2y=50$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=25$$

השתמש ב- ‎25 במקום y ב- ‎x=-y+50. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-25+50$$

הוסף את ‎50 ל- ‎-25.

$$x=25$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=25,y=25$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=50,5x+7y=300$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-5}&-\frac{1}{7-5}\\-\frac{5}{7-5}&\frac{1}{7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 50-\frac{1}{2}\times 300\\-\frac{5}{2}\times 50+\frac{1}{2}\times 300\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=25,y=25$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=50,5x+7y=300$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$5x+5y=5\times 50,5x+7y=300$$

פשט.

$$5x+5y=250,5x+7y=300$$

החסר את ‎5x+7y=300 מ- ‎5x+5y=250 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-5x+5y-7y=250-300$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-5x. האיברים ‎5x ו- ‎-5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y-7y=250-300$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-7y.

$$-2y=250-300$$

הוסף את ‎250 ל- ‎-300.

$$-2y=-50$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=25$$

השתמש ב- ‎25 במקום y ב- ‎5x+7y=300. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+7\times 25=300$$

הכפל את ‎7 ב- ‎25.

$$5x+175=300$$

החסר ‎175 משני אגפי המשוואה.

$$5x=125$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=25$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=25,y=25$$