פתור את {l}{x+y=4}{4x-3y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { 4 x - 3 y = - 19 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=4,4x-3y=-19$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=4$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+4$$

השתמש ב- ‎-y+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-3y=-19.

$$4\left(-y+4\right)-3y=-19$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-y+4.

$$-4y+16-3y=-19$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎-3y.

$$-7y+16=-19$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$-7y=-35$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-5+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-5.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=4,4x-3y=-19$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-4}&-\frac{1}{-3-4}\\-\frac{4}{-3-4}&\frac{1}{-3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 4+\frac{1}{7}\left(-19\right)\\\frac{4}{7}\times 4-\frac{1}{7}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=4,4x-3y=-19$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$4x+4y=4\times 4,4x-3y=-19$$

פשט.

$$4x+4y=16,4x-3y=-19$$

החסר את ‎4x-3y=-19 מ- ‎4x+4y=16 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x+4y+3y=16+19$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y+3y=16+19$$

הוסף את ‎4y ל- ‎3y.

$$7y=16+19$$

הוסף את ‎16 ל- ‎19.

$$7y=35$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎4x-3y=-19. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-3\times 5=-19$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎5.

$$4x-15=-19$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$4x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=5$$