פתור את {l}{x+y=36}{5/7=x/y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 36 } \\ { \frac { 5 } { 7 } = \frac { x } { y } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=15$$

$$y=21$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה ל- ‎0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 7y, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 7,y.

$$5y=7x$$

החסר ‎7x משני האגפים.

$$5y-7x=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=36$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+36$$

השתמש ב- ‎-y+36 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-7x+5y=0.

$$-7\left(-y+36\right)+5y=0$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎-y+36.

$$7y-252+5y=0$$

הוסף את ‎7y ל- ‎5y.

$$12y-252=0$$

הוסף ‎252 לשני אגפי המשוואה.

$$12y=252$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$y=21$$

השתמש ב- ‎21 במקום y ב- ‎x=-y+36. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-21+36$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-21.

$$x=15$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=15,y=21$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה ל- ‎0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 7y, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 7,y.

$$5y=7x$$

החסר ‎7x משני האגפים.

$$5y-7x=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{1}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 36\\\frac{7}{12}\times 36\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\21\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=15,y=21$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. המשתנה y אינו יכול להיות שווה ל- ‎0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 7y, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 7,y.

$$5y=7x$$

החסר ‎7x משני האגפים.

$$5y-7x=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-7x-7y=-7\times 36,-7x+5y=0$$

פשט.

$$-7x-7y=-252,-7x+5y=0$$

החסר את ‎-7x+5y=0 מ- ‎-7x-7y=-252 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-7x+7x-7y-5y=-252$$

הוסף את ‎-7x ל- ‎7x. האיברים ‎-7x ו- ‎7x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-7y-5y=-252$$

הוסף את ‎-7y ל- ‎-5y.

$$-12y=-252$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-12.

$$y=21$$

השתמש ב- ‎21 במקום y ב- ‎-7x+5y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-7x+5\times 21=0$$

הכפל את ‎5 ב- ‎21.

$$-7x+105=0$$

החסר ‎105 משני אגפי המשוואה.

$$-7x=-105$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$x=15$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=15,y=21$$