פתור את {l}{x+y=20}{y=7x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 20 } \\ { y = 7 x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y = \frac{35}{2} = 17\frac{1}{2} = 17.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎7x משני האגפים.

$$y-7x=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+y=20,-7x+y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+y=20$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$x=-y+20$$

השתמש ב- ‎-y+20 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-7x+y=0.

$$-7\left(-y+20\right)+y=0$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎-y+20.

$$7y-140+y=0$$

הוסף את ‎7y ל- ‎y.

$$8y-140=0$$

הוסף ‎140 לשני אגפי המשוואה.

$$8y=140$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$y=\frac{35}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{35}{2} במקום y ב- ‎x=-y+20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{35}{2}+20$$

הוסף את ‎20 ל- ‎-\frac{35}{2}.

$$x=\frac{5}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{35}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎7x משני האגפים.

$$y-7x=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+y=20,-7x+y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-7\right)}&-\frac{1}{1-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{1-\left(-7\right)}&\frac{1}{1-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{7}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 20\\\frac{7}{8}\times 20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{35}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{35}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎7x משני האגפים.

$$y-7x=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+y=20,-7x+y=0$$

החסר את ‎-7x+y=0 מ- ‎x+y=20 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x+7x+y-y=20$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x+7x=20$$

הוסף את ‎x ל- ‎7x.

$$8x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום x ב- ‎-7x+y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-7\times \frac{5}{2}+y=0$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎\frac{5}{2}.

$$-\frac{35}{2}+y=0$$

הוסף ‎\frac{35}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{35}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{35}{2}$$