פתור את {l}{x+2y=5900}{2x+2y=9400}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 5900 } \\ { 2 x + 2 y = 9400 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3500$$

$$y=1200$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=5900,2x+2y=9400$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=5900$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y+5900$$

השתמש ב- ‎-2y+5900 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+2y=9400.

$$2\left(-2y+5900\right)+2y=9400$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2y+5900.

$$-4y+11800+2y=9400$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎2y.

$$-2y+11800=9400$$

החסר ‎11800 משני אגפי המשוואה.

$$-2y=-2400$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=1200$$

השתמש ב- ‎1200 במקום y ב- ‎x=-2y+5900. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times 1200+5900$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎1200.

$$x=-2400+5900$$

הוסף את ‎5900 ל- ‎-2400.

$$x=3500$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3500,y=1200$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=5900,2x+2y=9400$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-2\times 2}&-\frac{2}{2-2\times 2}\\-\frac{2}{2-2\times 2}&\frac{1}{2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5900+9400\\5900-\frac{1}{2}\times 9400\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3500\\1200\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3500,y=1200$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=5900,2x+2y=9400$$

החסר את ‎2x+2y=9400 מ- ‎x+2y=5900 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-2x+2y-2y=5900-9400$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-2y. האיברים ‎2y ו- ‎-2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x-2x=5900-9400$$

הוסף את ‎x ל- ‎-2x.

$$-x=5900-9400$$

הוסף את ‎5900 ל- ‎-9400.

$$-x=-3500$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=3500$$

השתמש ב- ‎3500 במקום x ב- ‎2x+2y=9400. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2\times 3500+2y=9400$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3500.

$$7000+2y=9400$$

החסר ‎7000 משני אגפי המשוואה.

$$2y=2400$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=1200$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3500,y=1200$$