פתור את {l}{rx-ry=1}{rx-9y=r}

$$\left\{ \begin{array} { l } { r x - r y = 1 } \\ { r x - 9 y = r } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

$$y=-\frac{1-r}{r-9}$$

$$r\neq 9\text{ and }r\neq 0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$rx+\left(-r\right)y=1$$

הוסף ‎ry לשני אגפי המשוואה.

$$rx=ry+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎r.

$$x=\frac{1}{r}\left(ry+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{r} ב- ‎ry+1.

$$x=y+\frac{1}{r}$$

השתמש ב- ‎y+\frac{1}{r} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎rx-9y=r.

$$r\left(y+\frac{1}{r}\right)-9y=r$$

הכפל את ‎r ב- ‎y+\frac{1}{r}.

$$ry+1-9y=r$$

הוסף את ‎ry ל- ‎-9y.

$$\left(r-9\right)y+1=r$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$\left(r-9\right)y=r-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎r-9.

$$y=\frac{r-1}{r-9}$$

השתמש ב- ‎\frac{r-1}{r-9} במקום y ב- ‎x=y+\frac{1}{r}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{r-1}{r-9}+\frac{1}{r}$$

הוסף את ‎\frac{1}{r} ל- ‎\frac{r-1}{r-9}.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&-\frac{-r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\\-\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}&\frac{1}{r-9}\\-\frac{1}{r-9}&\frac{1}{r-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}+\frac{1}{r-9}r\\-\frac{1}{r-9}+\frac{1}{r-9}r\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}\\\frac{r-1}{r-9}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

החסר את ‎rx-9y=r מ- ‎rx+\left(-r\right)y=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$rx+\left(-r\right)x+\left(-r\right)y+9y=1-r$$

הוסף את ‎rx ל- ‎-rx. האיברים ‎rx ו- ‎-rx מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\left(-r\right)y+9y=1-r$$

הוסף את ‎-ry ל- ‎9y.

$$\left(9-r\right)y=1-r$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-r+9.

$$y=\frac{1-r}{9-r}$$

השתמש ב- ‎\frac{1-r}{-r+9} במקום y ב- ‎rx-9y=r. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$rx-9\times \frac{1-r}{9-r}=r$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎\frac{1-r}{-r+9}.

$$rx-\frac{9\left(1-r\right)}{9-r}=r$$

הוסף ‎\frac{9\left(1-r\right)}{-r+9} לשני אגפי המשוואה.

$$rx=-\frac{\left(r-3\right)\left(r+3\right)}{9-r}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎r.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)},y=\frac{1-r}{9-r}$$