פתור את {l}{78x+40y=1280}{120x+8y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 8 y = 2800 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{2120}{87} = 24\frac{32}{87} \approx 24.367816092$$

$$y = -\frac{450}{29} = -15\frac{15}{29} \approx -15.517241379$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$78x+40y=1280$$

החסר ‎40y משני אגפי המשוואה.

$$78x=-40y+1280$$

חלק את שני האגפים ב- ‎78.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{78} ב- ‎-40y+1280.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

השתמש ב- ‎\frac{-20y+640}{39} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎120x+8y=2800.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+8y=2800$$

הכפל את ‎120 ב- ‎\frac{-20y+640}{39}.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+8y=2800$$

הוסף את ‎-\frac{800y}{13} ל- ‎8y.

$$-\frac{696}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

החסר ‎\frac{25600}{13} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{696}{13}y=\frac{10800}{13}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{696}{13}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{450}{29}$$

השתמש ב- ‎-\frac{450}{29} במקום y ב- ‎x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{20}{39}\left(-\frac{450}{29}\right)+\frac{640}{39}$$

הכפל את ‎-\frac{20}{39} ב- ‎-\frac{450}{29} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{3000}{377}+\frac{640}{39}$$

הוסף את ‎\frac{640}{39} ל- ‎\frac{3000}{377} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{2120}{87}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{78\times 8-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 8-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 8-40\times 120}&\frac{78}{78\times 8-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}&\frac{5}{522}\\\frac{5}{174}&-\frac{13}{696}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}\times 1280+\frac{5}{522}\times 2800\\\frac{5}{174}\times 1280-\frac{13}{696}\times 2800\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2120}{87}\\-\frac{450}{29}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

כדי להפוך את ‎78x ו- ‎120x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎120 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎78.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 8y=78\times 2800$$

פשט.

$$9360x+4800y=153600,9360x+624y=218400$$

החסר את ‎9360x+624y=218400 מ- ‎9360x+4800y=153600 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$9360x-9360x+4800y-624y=153600-218400$$

הוסף את ‎9360x ל- ‎-9360x. האיברים ‎9360x ו- ‎-9360x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4800y-624y=153600-218400$$

הוסף את ‎4800y ל- ‎-624y.

$$4176y=153600-218400$$

הוסף את ‎153600 ל- ‎-218400.

$$4176y=-64800$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4176.

$$y=-\frac{450}{29}$$

השתמש ב- ‎-\frac{450}{29} במקום y ב- ‎120x+8y=2800. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$120x+8\left(-\frac{450}{29}\right)=2800$$

הכפל את ‎8 ב- ‎-\frac{450}{29}.

$$120x-\frac{3600}{29}=2800$$

הוסף ‎\frac{3600}{29} לשני אגפי המשוואה.

$$120x=\frac{84800}{29}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎120.

$$x=\frac{2120}{87}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$