פתור את {l}{7P=B-39}{B-11P=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 P = B - 39 } \\ { B - 11 P = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור P, B

$$P = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

$$B = \frac{183}{2} = 91\frac{1}{2} = 91.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎B משני האגפים.

$$7P-B=-39$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7P-B=-39,-11P+B=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור P על-ידי בידוד P בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7P-B=-39$$

הוסף ‎B לשני אגפי המשוואה.

$$7P=B-39$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$P=\frac{1}{7}\left(B-39\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎B-39.

$$P=\frac{1}{7}B-\frac{39}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-39+B}{7} במקום ‎P במשוואה השניה, ‎-11P+B=9.

$$-11\left(\frac{1}{7}B-\frac{39}{7}\right)+B=9$$

הכפל את ‎-11 ב- ‎\frac{-39+B}{7}.

$$-\frac{11}{7}B+\frac{429}{7}+B=9$$

הוסף את ‎-\frac{11B}{7} ל- ‎B.

$$-\frac{4}{7}B+\frac{429}{7}=9$$

החסר ‎\frac{429}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{4}{7}B=-\frac{366}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{4}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$B=\frac{183}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{183}{2} במקום B ב- ‎P=\frac{1}{7}B-\frac{39}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את P ישירות.

$$P=\frac{1}{7}\times \frac{183}{2}-\frac{39}{7}$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎\frac{183}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$P=\frac{183}{14}-\frac{39}{7}$$

הוסף את ‎-\frac{39}{7} ל- ‎\frac{183}{14} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$P=\frac{15}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$P=\frac{15}{2},B=\frac{183}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎B משני האגפים.

$$7P-B=-39$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7P-B=-39,-11P+B=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-\left(-11\right)\right)}&-\frac{-1}{7-\left(-\left(-11\right)\right)}\\-\frac{-11}{7-\left(-\left(-11\right)\right)}&\frac{7}{7-\left(-\left(-11\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-39\right)-\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{11}{4}\left(-39\right)-\frac{7}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2}\\\frac{183}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה P ו- B.

$$P=\frac{15}{2},B=\frac{183}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎B משני האגפים.

$$7P-B=-39$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7P-B=-39,-11P+B=9$$

כדי להפוך את ‎7P ו- ‎-11P לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-11 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$-11\times 7P-11\left(-1\right)B=-11\left(-39\right),7\left(-11\right)P+7B=7\times 9$$

פשט.

$$-77P+11B=429,-77P+7B=63$$

החסר את ‎-77P+7B=63 מ- ‎-77P+11B=429 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-77P+77P+11B-7B=429-63$$

הוסף את ‎-77P ל- ‎77P. האיברים ‎-77P ו- ‎77P מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$11B-7B=429-63$$

הוסף את ‎11B ל- ‎-7B.

$$4B=429-63$$

הוסף את ‎429 ל- ‎-63.

$$4B=366$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$B=\frac{183}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{183}{2} במקום B ב- ‎-11P+B=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את P ישירות.

$$-11P+\frac{183}{2}=9$$

החסר ‎\frac{183}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-11P=-\frac{165}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-11.

$$P=\frac{15}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$P=\frac{15}{2},B=\frac{183}{2}$$