פתור את {l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x-18y=-85$$

הוסף ‎18y לשני אגפי המשוואה.

$$6x=18y-85$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎18y-85.

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

השתמש ב- ‎3y-\frac{85}{6} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎24x-5y=-5.

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

הכפל את ‎24 ב- ‎3y-\frac{85}{6}.

$$72y-340-5y=-5$$

הוסף את ‎72y ל- ‎-5y.

$$67y-340=-5$$

הוסף ‎340 לשני אגפי המשוואה.

$$67y=335$$

חלק את שני האגפים ב- ‎67.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=3y-\frac{85}{6}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎5.

$$x=15-\frac{85}{6}$$

הוסף את ‎-\frac{85}{6} ל- ‎15.

$$x=\frac{5}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎24x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎24 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

פשט.

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

החסר את ‎144x-30y=-30 מ- ‎144x-432y=-2040 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

הוסף את ‎144x ל- ‎-144x. האיברים ‎144x ו- ‎-144x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-432y+30y=-2040+30$$

הוסף את ‎-432y ל- ‎30y.

$$-402y=-2040+30$$

הוסף את ‎-2040 ל- ‎30.

$$-402y=-2010$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-402.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎24x-5y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$24x-5\times 5=-5$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎5.

$$24x-25=-5$$

הוסף ‎25 לשני אגפי המשוואה.

$$24x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎24.

$$x=\frac{5}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$