פתור את {l}{5y+2x=5}{y+2x=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y + 2 x = 5 } \\ { y + 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5y+2x=5$$

החסר ‎2x משני אגפי המשוואה.

$$5y=-2x+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-2x+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-2x+5.

$$y=-\frac{2}{5}x+1$$

השתמש ב- ‎-\frac{2x}{5}+1 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y+2x=5.

$$-\frac{2}{5}x+1+2x=5$$

הוסף את ‎-\frac{2x}{5} ל- ‎2x.

$$\frac{8}{5}x+1=5$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{8}{5}x=4$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{8}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום x ב- ‎y=-\frac{2}{5}x+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-\frac{2}{5}\times \frac{5}{2}+1$$

הכפל את ‎-\frac{2}{5} ב- ‎\frac{5}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=-1+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-1.

$$y=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2}&-\frac{2}{5\times 2-2}\\-\frac{1}{5\times 2-2}&\frac{5}{5\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 5\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{5}{8}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

החסר את ‎y+2x=5 מ- ‎5y+2x=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5y-y+2x-2x=5-5$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y-y=5-5$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-y.

$$4y=5-5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-5.

$$4y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎y+2x=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$