פתור את {l}{5x-2y=7}{2x+7y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 7 } \\ { 2 x + 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-2y=7,2x+7y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-2y=7$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=2y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎2y+7.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{2y+7}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+7y=-5.

$$2\left(\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}\right)+7y=-5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{2y+7}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{14}{5}+7y=-5$$

הוסף את ‎\frac{4y}{5} ל- ‎7y.

$$\frac{39}{5}y+\frac{14}{5}=-5$$

החסר ‎\frac{14}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{39}{5}y=-\frac{39}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{39}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{5}\left(-1\right)+\frac{7}{5}$$

הכפל את ‎\frac{2}{5} ב- ‎-1.

$$x=\frac{-2+7}{5}$$

הוסף את ‎\frac{7}{5} ל- ‎-\frac{2}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-2y=7,2x+7y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{39}&\frac{2}{39}\\-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{39}\times 7+\frac{2}{39}\left(-5\right)\\-\frac{2}{39}\times 7+\frac{5}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-2y=7,2x+7y=-5$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$2\times 5x+2\left(-2\right)y=2\times 7,5\times 2x+5\times 7y=5\left(-5\right)$$

פשט.

$$10x-4y=14,10x+35y=-25$$

החסר את ‎10x+35y=-25 מ- ‎10x-4y=14 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x-4y-35y=14+25$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4y-35y=14+25$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎-35y.

$$-39y=14+25$$

הוסף את ‎14 ל- ‎25.

$$-39y=39$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-39.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎2x+7y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+7\left(-1\right)=-5$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-1.

$$2x-7=-5$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-1$$