פתור את {l}{5x+3y=-2}{2x-2y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = - 2 } \\ { 2 x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+3y=-2$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-3y-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y-2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-3y-2.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y-2}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-2y=-4.

$$2\left(-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}\right)-2y=-4$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-3y-2}{5}.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{4}{5}-2y=-4$$

הוסף את ‎-\frac{6y}{5} ל- ‎-2y.

$$-\frac{16}{5}y-\frac{4}{5}=-4$$

הוסף ‎\frac{4}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{16}{5}y=-\frac{16}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{16}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{-3-2}{5}$$

הוסף את ‎-\frac{2}{5} ל- ‎-\frac{3}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&-\frac{3}{5\left(-2\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&\frac{5}{5\left(-2\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-2\right)+\frac{3}{16}\left(-4\right)\\\frac{1}{8}\left(-2\right)-\frac{5}{16}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\left(-2\right),5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\left(-4\right)$$

פשט.

$$10x+6y=-4,10x-10y=-20$$

החסר את ‎10x-10y=-20 מ- ‎10x+6y=-4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+6y+10y=-4+20$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y+10y=-4+20$$

הוסף את ‎6y ל- ‎10y.

$$16y=-4+20$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎20.

$$16y=16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎2x-2y=-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-2=-4$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=1$$