פתור את {l}{5x+2y=6}{2x+5y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 6 } \\ { 2 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+2y=6$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-2y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-2y+6.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+6}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+5y=8.

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}\right)+5y=8$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-2y+6}{5}.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{12}{5}+5y=8$$

הוסף את ‎-\frac{4y}{5} ל- ‎5y.

$$\frac{21}{5}y+\frac{12}{5}=8$$

החסר ‎\frac{12}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{21}{5}y=\frac{28}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{21}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{4}{3} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{4}{3}+\frac{6}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{5} ב- ‎\frac{4}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{8}{15}+\frac{6}{5}$$

הוסף את ‎\frac{6}{5} ל- ‎-\frac{8}{15} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{2}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}&\frac{5}{5\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 6-\frac{2}{21}\times 8\\-\frac{2}{21}\times 6+\frac{5}{21}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 6,5\times 2x+5\times 5y=5\times 8$$

פשט.

$$10x+4y=12,10x+25y=40$$

החסר את ‎10x+25y=40 מ- ‎10x+4y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+4y-25y=12-40$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y-25y=12-40$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-25y.

$$-21y=12-40$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-40.

$$-21y=-28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-21.

$$y=\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{4}{3} במקום y ב- ‎2x+5y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+5\times \frac{4}{3}=8$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{4}{3}.

$$2x+\frac{20}{3}=8$$

החסר ‎\frac{20}{3} משני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{4}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{2}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$