פתור את {l}{5x+10y=-70}{-8x+30y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 10 y = - 70 } \\ { - 8 x + 30 y = 20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-10$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+10y=-70$$

החסר ‎10y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-10y-70$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-10y-70\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-10y-70.

$$x=-2y-14$$

השתמש ב- ‎-2y-14 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-8x+30y=20.

$$-8\left(-2y-14\right)+30y=20$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-2y-14.

$$16y+112+30y=20$$

הוסף את ‎16y ל- ‎30y.

$$46y+112=20$$

החסר ‎112 משני אגפי המשוואה.

$$46y=-92$$

חלק את שני האגפים ב- ‎46.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=-2y-14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\left(-2\right)-14$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-2.

$$x=4-14$$

הוסף את ‎-14 ל- ‎4.

$$x=-10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-10,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{5\times 30-10\left(-8\right)}&-\frac{10}{5\times 30-10\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{5\times 30-10\left(-8\right)}&\frac{5}{5\times 30-10\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{4}{115}&\frac{1}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\left(-70\right)-\frac{1}{23}\times 20\\\frac{4}{115}\left(-70\right)+\frac{1}{46}\times 20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-10,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎-8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$-8\times 5x-8\times 10y=-8\left(-70\right),5\left(-8\right)x+5\times 30y=5\times 20$$

פשט.

$$-40x-80y=560,-40x+150y=100$$

החסר את ‎-40x+150y=100 מ- ‎-40x-80y=560 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-40x+40x-80y-150y=560-100$$

הוסף את ‎-40x ל- ‎40x. האיברים ‎-40x ו- ‎40x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-80y-150y=560-100$$

הוסף את ‎-80y ל- ‎-150y.

$$-230y=560-100$$

הוסף את ‎560 ל- ‎-100.

$$-230y=460$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-230.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎-8x+30y=20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-8x+30\left(-2\right)=20$$

הכפל את ‎30 ב- ‎-2.

$$-8x-60=20$$

הוסף ‎60 לשני אגפי המשוואה.

$$-8x=80$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=-10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-10,y=-2$$