פתור את {l}{44=112k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 112 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

פתור עבור k, b

$$k=\frac{14}{15}\approx 0.933333333$$

$$b = -\frac{908}{15} = -60\frac{8}{15} \approx -60.533333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$112k+b=44$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$82k+b=16$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור k על-ידי בידוד k בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$112k+b=44$$

החסר ‎b משני אגפי המשוואה.

$$112k=-b+44$$

חלק את שני האגפים ב- ‎112.

$$k=\frac{1}{112}\left(-b+44\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{112} ב- ‎-b+44.

$$k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}$$

השתמש ב- ‎-\frac{b}{112}+\frac{11}{28} במקום ‎k במשוואה השניה, ‎82k+b=16.

$$82\left(-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}\right)+b=16$$

הכפל את ‎82 ב- ‎-\frac{b}{112}+\frac{11}{28}.

$$-\frac{41}{56}b+\frac{451}{14}+b=16$$

הוסף את ‎-\frac{41b}{56} ל- ‎b.

$$\frac{15}{56}b+\frac{451}{14}=16$$

החסר ‎\frac{451}{14} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{15}{56}b=-\frac{227}{14}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{15}{56}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=-\frac{908}{15}$$

השתמש ב- ‎-\frac{908}{15} במקום b ב- ‎k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את k ישירות.

$$k=-\frac{1}{112}\left(-\frac{908}{15}\right)+\frac{11}{28}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{112} ב- ‎-\frac{908}{15} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$k=\frac{227}{420}+\frac{11}{28}$$

הוסף את ‎\frac{11}{28} ל- ‎\frac{227}{420} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$k=\frac{14}{15}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$112k+b=44$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$82k+b=16$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{112-82}&-\frac{1}{112-82}\\-\frac{82}{112-82}&\frac{112}{112-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{30}\\-\frac{41}{15}&\frac{56}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 44-\frac{1}{30}\times 16\\-\frac{41}{15}\times 44+\frac{56}{15}\times 16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{15}\\-\frac{908}{15}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה k ו- b.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$112k+b=44$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$82k+b=16$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

החסר את ‎82k+b=16 מ- ‎112k+b=44 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$112k-82k+b-b=44-16$$

הוסף את ‎b ל- ‎-b. האיברים ‎b ו- ‎-b מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$112k-82k=44-16$$

הוסף את ‎112k ל- ‎-82k.

$$30k=44-16$$

הוסף את ‎44 ל- ‎-16.

$$30k=28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎30.

$$k=\frac{14}{15}$$

השתמש ב- ‎\frac{14}{15} במקום k ב- ‎82k+b=16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את b ישירות.

$$82\times \frac{14}{15}+b=16$$

הכפל את ‎82 ב- ‎\frac{14}{15}.

$$\frac{1148}{15}+b=16$$

החסר ‎\frac{1148}{15} משני אגפי המשוואה.

$$b=-\frac{908}{15}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$