פתור את {l}{4(x+y)-3(x-y)=10}{2(x+y)-3(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 10 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

כנס את ‎4x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎x.

$$x+4y+3y=10$$

כנס את ‎4y ו- ‎3y כדי לקבל ‎7y.

$$x+7y=10$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

כנס את ‎2x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎-x.

$$-x+2y+3y=2$$

כנס את ‎2y ו- ‎3y כדי לקבל ‎5y.

$$-x+5y=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+7y=10$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$x=-7y+10$$

השתמש ב- ‎-7y+10 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+5y=2.

$$-\left(-7y+10\right)+5y=2$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-7y+10.

$$7y-10+5y=2$$

הוסף את ‎7y ל- ‎5y.

$$12y-10=2$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$12y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=-7y+10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-7+10$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-7.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

כנס את ‎4x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎x.

$$x+4y+3y=10$$

כנס את ‎4y ו- ‎3y כדי לקבל ‎7y.

$$x+7y=10$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

כנס את ‎2x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎-x.

$$-x+2y+3y=2$$

כנס את ‎2y ו- ‎3y כדי לקבל ‎5y.

$$-x+5y=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{5-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-7\left(-1\right)}&\frac{1}{5-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 10-\frac{7}{12}\times 2\\\frac{1}{12}\times 10+\frac{1}{12}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

כנס את ‎4x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎x.

$$x+4y+3y=10$$

כנס את ‎4y ו- ‎3y כדי לקבל ‎7y.

$$x+7y=10$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -3 ב- x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

כנס את ‎2x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎-x.

$$-x+2y+3y=2$$

כנס את ‎2y ו- ‎3y כדי לקבל ‎5y.

$$-x+5y=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-x-7y=-10,-x+5y=2$$

החסר את ‎-x+5y=2 מ- ‎-x-7y=-10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-x+x-7y-5y=-10-2$$

הוסף את ‎-x ל- ‎x. האיברים ‎-x ו- ‎x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-7y-5y=-10-2$$

הוסף את ‎-7y ל- ‎-5y.

$$-12y=-10-2$$

הוסף את ‎-10 ל- ‎-2.

$$-12y=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-12.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎-x+5y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x+5=2$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$-x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=1$$