פתור את {l}{3x-5y-4=0}{15y=4x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y - 4 = 0 } \\ { 15 y = 4 x + 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎4 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3x-5y=4$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$15y-4x=3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-5y=4$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=5y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y+4}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x+15y=3.

$$-4\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+15y=3$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{5y+4}{3}.

$$-\frac{20}{3}y-\frac{16}{3}+15y=3$$

הוסף את ‎-\frac{20y}{3} ל- ‎15y.

$$\frac{25}{3}y-\frac{16}{3}=3$$

הוסף ‎\frac{16}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{25}{3}y=\frac{25}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{25}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

הוסף את ‎\frac{4}{3} ל- ‎\frac{5}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎4 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3x-5y=4$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$15y-4x=3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{3}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\\\frac{4}{25}\times 4+\frac{3}{25}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎4 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3x-5y=4$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$15y-4x=3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-4\times 3x-4\left(-5\right)y=-4\times 4,3\left(-4\right)x+3\times 15y=3\times 3$$

פשט.

$$-12x+20y=-16,-12x+45y=9$$

החסר את ‎-12x+45y=9 מ- ‎-12x+20y=-16 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-12x+12x+20y-45y=-16-9$$

הוסף את ‎-12x ל- ‎12x. האיברים ‎-12x ו- ‎12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$20y-45y=-16-9$$

הוסף את ‎20y ל- ‎-45y.

$$-25y=-16-9$$

הוסף את ‎-16 ל- ‎-9.

$$-25y=-25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-25.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎-4x+15y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x+15=3$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$-4x=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=1$$