פתור את {l}{3x-5y=6}{6x+7y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 6 } \\ { 6 x + 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-5y=6$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=5y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎5y+6.

$$x=\frac{5}{3}y+2$$

השתמש ב- ‎\frac{5y}{3}+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x+7y=-5.

$$6\left(\frac{5}{3}y+2\right)+7y=-5$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{5y}{3}+2.

$$10y+12+7y=-5$$

הוסף את ‎10y ל- ‎7y.

$$17y+12=-5$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$17y=-17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎17.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{3}y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{3}\left(-1\right)+2$$

הכפל את ‎\frac{5}{3} ב- ‎-1.

$$x=-\frac{5}{3}+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-\frac{5}{3}.

$$x=\frac{1}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\6&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{51}&\frac{5}{51}\\-\frac{2}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{51}\times 6+\frac{5}{51}\left(-5\right)\\-\frac{2}{17}\times 6+\frac{1}{17}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-5y=6,6x+7y=-5$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$6\times 3x+6\left(-5\right)y=6\times 6,3\times 6x+3\times 7y=3\left(-5\right)$$

פשט.

$$18x-30y=36,18x+21y=-15$$

החסר את ‎18x+21y=-15 מ- ‎18x-30y=36 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x-30y-21y=36+15$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-30y-21y=36+15$$

הוסף את ‎-30y ל- ‎-21y.

$$-51y=36+15$$

הוסף את ‎36 ל- ‎15.

$$-51y=51$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-51.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎6x+7y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x+7\left(-1\right)=-5$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-1.

$$6x-7=-5$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$6x=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{3},y=-1$$