פתור את {l}{3x^2+2y^2=2}{2x+7y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 2 } \\ { 2 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{4}{5}=0.8\text{, }y=\frac{1}{5}=0.2$$

$$x=-\frac{20}{31}\approx -0.64516129\text{, }y=\frac{19}{31}\approx 0.612903226$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+7y=3,2y^{2}+3x^{2}=2$$

פתור את ‎2x+7y=3 עבור ‎x על-ידי בידוד ‎x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+7y=3$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-7y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2y^{2}+3x^{2}=2.

$$2y^{2}+3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}\right)^{2}=2$$

‎-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2} בריבוע.

$$2y^{2}+3\left(\frac{49}{4}y^{2}-\frac{21}{2}y+\frac{9}{4}\right)=2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{49}{4}y^{2}-\frac{21}{2}y+\frac{9}{4}.

$$2y^{2}+\frac{147}{4}y^{2}-\frac{63}{2}y+\frac{27}{4}=2$$

הוסף את ‎2y^{2} ל- ‎\frac{147}{4}y^{2}.

$$\frac{155}{4}y^{2}-\frac{63}{2}y+\frac{27}{4}=2$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{155}{4}y^{2}-\frac{63}{2}y+\frac{19}{4}=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2+3\left(-\frac{7}{2}\right)^{2} במקום a, ב- 3\times \frac{3}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)\times 2 במקום b, וב- \frac{19}{4} במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{63}{2}\right)^{2}-4\times \frac{155}{4}\times \frac{19}{4}}}{2\times \frac{155}{4}}$$

‎3\times \frac{3}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)\times 2 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{\frac{3969}{4}-4\times \frac{155}{4}\times \frac{19}{4}}}{2\times \frac{155}{4}}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2+3\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{\frac{3969}{4}-155\times \frac{19}{4}}}{2\times \frac{155}{4}}$$

הכפל את ‎-155 ב- ‎\frac{19}{4}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{\frac{3969-2945}{4}}}{2\times \frac{155}{4}}$$

הוסף את ‎\frac{3969}{4} ל- ‎-\frac{2945}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±\sqrt{256}}{2\times \frac{155}{4}}$$

הוצא את השורש הריבועי של 256.

$$y=\frac{-\left(-\frac{63}{2}\right)±16}{2\times \frac{155}{4}}$$

ההופכי של ‎3\times \frac{3}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)\times 2 הוא ‎\frac{63}{2}.

$$y=\frac{\frac{63}{2}±16}{2\times \frac{155}{4}}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2+3\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}.

$$y=\frac{\frac{63}{2}±16}{\frac{155}{2}}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{\frac{63}{2}±16}{\frac{155}{2}} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎\frac{63}{2} ל- ‎16.

$$y=\frac{\frac{95}{2}}{\frac{155}{2}}$$

חלק את ‎\frac{95}{2} ב- ‎\frac{155}{2} על-ידי הכפלת ‎\frac{95}{2} בהופכי של ‎\frac{155}{2}.

$$y=\frac{19}{31}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{\frac{63}{2}±16}{\frac{155}{2}} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎16 מ- ‎\frac{63}{2}.

$$y=\frac{\frac{31}{2}}{\frac{155}{2}}$$

חלק את ‎\frac{31}{2} ב- ‎\frac{155}{2} על-ידי הכפלת ‎\frac{31}{2} בהופכי של ‎\frac{155}{2}.

$$y=\frac{1}{5}$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎y‏: ‎\frac{19}{31} ו- ‎\frac{1}{5}. השתמש ב- ‎\frac{19}{31} במקום ‎y במשוואה ‎x=-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2} כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{19}{31}+\frac{3}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{7}{2} ב- ‎\frac{19}{31} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{133}{62}+\frac{3}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{7}{2}\times \frac{19}{31} ל- ‎\frac{3}{2}.

$$x=-\frac{20}{31}$$

כעת השתמש ב- ‎\frac{1}{5} במקום ‎y במשוואה x=-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2} ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎x שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{1}{5}+\frac{3}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{7}{2} ב- ‎\frac{1}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{7}{10}+\frac{3}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{7}{2}\times \frac{1}{5} ל- ‎\frac{3}{2}.

$$x=\frac{4}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{20}{31},y=\frac{19}{31}\text{ or }x=\frac{4}{5},y=\frac{1}{5}$$