פתור את {l}{3x+y=3}{5x-y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 3 } \\ { 5 x - y = 15 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$y = -\frac{15}{4} = -3\frac{3}{4} = -3.75$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+y=3,5x-y=15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+y=3$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-y+3.

$$x=-\frac{1}{3}y+1$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{3}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-y=15.

$$5\left(-\frac{1}{3}y+1\right)-y=15$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-\frac{y}{3}+1.

$$-\frac{5}{3}y+5-y=15$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{3} ל- ‎-y.

$$-\frac{8}{3}y+5=15$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{8}{3}y=10$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{8}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{15}{4}$$

השתמש ב- ‎-\frac{15}{4} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{15}{4}\right)+1$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-\frac{15}{4} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{5}{4}+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎\frac{5}{4}.

$$x=\frac{9}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{4},y=-\frac{15}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+y=3,5x-y=15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 3+\frac{1}{8}\times 15\\\frac{5}{8}\times 3-\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{15}{4}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{9}{4},y=-\frac{15}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+y=3,5x-y=15$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$5\times 3x+5y=5\times 3,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 15$$

פשט.

$$15x+5y=15,15x-3y=45$$

החסר את ‎15x-3y=45 מ- ‎15x+5y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x+5y+3y=15-45$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y+3y=15-45$$

הוסף את ‎5y ל- ‎3y.

$$8y=15-45$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-45.

$$8y=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$y=-\frac{15}{4}$$

השתמש ב- ‎-\frac{15}{4} במקום y ב- ‎5x-y=15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-\left(-\frac{15}{4}\right)=15$$

החסר ‎\frac{15}{4} משני אגפי המשוואה.

$$5x=\frac{45}{4}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{9}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{4},y=-\frac{15}{4}$$