פתור את {l}{3x+4y=-6}{x-2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = - 6 } \\ { x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+4y=-6,x-2y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+4y=-6$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-4y-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-4y-6.

$$x=-\frac{4}{3}y-2$$

השתמש ב- ‎-\frac{4y}{3}-2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-2y=8.

$$-\frac{4}{3}y-2-2y=8$$

הוסף את ‎-\frac{4y}{3} ל- ‎-2y.

$$-\frac{10}{3}y-2=8$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{10}{3}y=10$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{10}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=-\frac{4}{3}y-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-3\right)-2$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎-3.

$$x=4-2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎4.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+4y=-6,x-2y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{3\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-4}&\frac{3}{3\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-6\right)+\frac{2}{5}\times 8\\\frac{1}{10}\left(-6\right)-\frac{3}{10}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+4y=-6,x-2y=8$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$3x+4y=-6,3x+3\left(-2\right)y=3\times 8$$

פשט.

$$3x+4y=-6,3x-6y=24$$

החסר את ‎3x-6y=24 מ- ‎3x+4y=-6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x+4y+6y=-6-24$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y+6y=-6-24$$

הוסף את ‎4y ל- ‎6y.

$$10y=-6-24$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎-24.

$$10y=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x-2y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-2\left(-3\right)=8$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-3.

$$x+6=8$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-3$$