פתור את {l}{3x+2=4y}{x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 = 4 y } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

$$y = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4y משני האגפים.

$$3x+2-4y=0$$

החסר ‎2 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$3x-4y=-2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-4y=-2$$

הוסף ‎4y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=4y-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎4y-2.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{4y-2}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=10.

$$\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}+y=10$$

הוסף את ‎\frac{4y}{3} ל- ‎y.

$$\frac{7}{3}y-\frac{2}{3}=10$$

הוסף ‎\frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{3}y=\frac{32}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{32}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{32}{7} במקום y ב- ‎x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{4}{3}\times \frac{32}{7}-\frac{2}{3}$$

הכפל את ‎\frac{4}{3} ב- ‎\frac{32}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{128}{21}-\frac{2}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{2}{3} ל- ‎\frac{128}{21} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{38}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4y משני האגפים.

$$3x+2-4y=0$$

החסר ‎2 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$3x-4y=-2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{4}{7}\times 10\\-\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{38}{7}\\\frac{32}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4y משני האגפים.

$$3x+2-4y=0$$

החסר ‎2 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$3x-4y=-2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$3x-4y=-2,3x+3y=3\times 10$$

פשט.

$$3x-4y=-2,3x+3y=30$$

החסר את ‎3x+3y=30 מ- ‎3x-4y=-2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x-4y-3y=-2-30$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4y-3y=-2-30$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎-3y.

$$-7y=-2-30$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎-30.

$$-7y=-32$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=\frac{32}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{32}{7} במקום y ב- ‎x+y=10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+\frac{32}{7}=10$$

החסר ‎\frac{32}{7} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{38}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$