פתור את {l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -4 ב- x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

כנס את ‎3x ו- ‎-4x כדי לקבל ‎-x.

$$-x+3y+4y=-18$$

כנס את ‎3y ו- ‎4y כדי לקבל ‎7y.

$$-x+7y=-18$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את \frac{1}{2} ב- x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את \frac{1}{6} ב- x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

כנס את ‎\frac{1}{2}x ו- ‎\frac{1}{6}x כדי לקבל ‎\frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

כנס את ‎\frac{1}{2}y ו- ‎-\frac{1}{6}y כדי לקבל ‎\frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x+7y=-18$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$-x=-7y-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-7y-18.

$$x=7y+18$$

השתמש ב- ‎7y+18 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎7y+18.

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

הוסף את ‎\frac{14y}{3} ל- ‎\frac{y}{3}.

$$5y+12=2$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$5y=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=7y+18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=7\left(-2\right)+18$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-2.

$$x=-14+18$$

הוסף את ‎18 ל- ‎-14.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -4 ב- x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

כנס את ‎3x ו- ‎-4x כדי לקבל ‎-x.

$$-x+3y+4y=-18$$

כנס את ‎3y ו- ‎4y כדי לקבל ‎7y.

$$-x+7y=-18$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את \frac{1}{2} ב- x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את \frac{1}{6} ב- x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

כנס את ‎\frac{1}{2}x ו- ‎\frac{1}{6}x כדי לקבל ‎\frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

כנס את ‎\frac{1}{2}y ו- ‎-\frac{1}{6}y כדי לקבל ‎\frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -4 ב- x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

כנס את ‎3x ו- ‎-4x כדי לקבל ‎-x.

$$-x+3y+4y=-18$$

כנס את ‎3y ו- ‎4y כדי לקבל ‎7y.

$$-x+7y=-18$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את \frac{1}{2} ב- x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את \frac{1}{6} ב- x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

כנס את ‎\frac{1}{2}x ו- ‎\frac{1}{6}x כדי לקבל ‎\frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

כנס את ‎\frac{1}{2}y ו- ‎-\frac{1}{6}y כדי לקבל ‎\frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

כדי להפוך את ‎-x ו- ‎\frac{2x}{3} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{2}{3} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-1.

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

פשט.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

החסר את ‎-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2 מ- ‎-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

הוסף את ‎-\frac{2x}{3} ל- ‎\frac{2x}{3}. האיברים ‎-\frac{2x}{3} ו- ‎\frac{2x}{3} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

הוסף את ‎\frac{14y}{3} ל- ‎\frac{y}{3}.

$$5y=-12+2$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎2.

$$5y=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

הוסף ‎\frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{2}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=-2$$