פתור את {l}{3(x+y)+9=2(x-y)}{2(x+y)=3(x-y)-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 9 = 2 ( x - y ) } \\ { 2 ( x + y ) = 3 ( x - y ) - 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+y.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-y.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

כנס את ‎3x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎x.

$$x+3y+9=-2y$$

הוסף ‎2y משני הצדדים.

$$x+3y+9+2y=0$$

כנס את ‎3y ו- ‎2y כדי לקבל ‎5y.

$$x+5y+9=0$$

החסר ‎9 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x+5y=-9$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+y.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x-y.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

החסר ‎3x משני האגפים.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

כנס את ‎2x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎-x.

$$-x+2y=-3y-4$$

הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$-x+2y+3y=-4$$

כנס את ‎2y ו- ‎3y כדי לקבל ‎5y.

$$-x+5y=-4$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+5y=-9$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$x=-5y-9$$

השתמש ב- ‎-5y-9 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+5y=-4.

$$-\left(-5y-9\right)+5y=-4$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-5y-9.

$$5y+9+5y=-4$$

הוסף את ‎5y ל- ‎5y.

$$10y+9=-4$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$10y=-13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=-\frac{13}{10}$$

השתמש ב- ‎-\frac{13}{10} במקום y ב- ‎x=-5y-9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-5\left(-\frac{13}{10}\right)-9$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-\frac{13}{10}.

$$x=\frac{13}{2}-9$$

הוסף את ‎-9 ל- ‎\frac{13}{2}.

$$x=-\frac{5}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+y.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-y.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

כנס את ‎3x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎x.

$$x+3y+9=-2y$$

הוסף ‎2y משני הצדדים.

$$x+3y+9+2y=0$$

כנס את ‎3y ו- ‎2y כדי לקבל ‎5y.

$$x+5y+9=0$$

החסר ‎9 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x+5y=-9$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+y.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x-y.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

החסר ‎3x משני האגפים.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

כנס את ‎2x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎-x.

$$-x+2y=-3y-4$$

הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$-x+2y+3y=-4$$

כנס את ‎2y ו- ‎3y כדי לקבל ‎5y.

$$-x+5y=-4$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{5-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-5\left(-1\right)}&\frac{1}{5-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{13}{10}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+y.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x-y.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

החסר ‎2x משני האגפים.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

כנס את ‎3x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎x.

$$x+3y+9=-2y$$

הוסף ‎2y משני הצדדים.

$$x+3y+9+2y=0$$

כנס את ‎3y ו- ‎2y כדי לקבל ‎5y.

$$x+5y+9=0$$

החסר ‎9 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x+5y=-9$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- x+y.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x-y.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

החסר ‎3x משני האגפים.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

כנס את ‎2x ו- ‎-3x כדי לקבל ‎-x.

$$-x+2y=-3y-4$$

הוסף ‎3y משני הצדדים.

$$-x+2y+3y=-4$$

כנס את ‎2y ו- ‎3y כדי לקבל ‎5y.

$$-x+5y=-4$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

החסר את ‎-x+5y=-4 מ- ‎x+5y=-9 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x+x+5y-5y=-9+4$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-5y. האיברים ‎5y ו- ‎-5y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x+x=-9+4$$

הוסף את ‎x ל- ‎x.

$$2x=-9+4$$

הוסף את ‎-9 ל- ‎4.

$$2x=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{2} במקום x ב- ‎-x+5y=-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-\left(-\frac{5}{2}\right)+5y=-4$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-\frac{5}{2}.

$$\frac{5}{2}+5y=-4$$

החסר ‎\frac{5}{2} משני אגפי המשוואה.

$$5y=-\frac{13}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-\frac{13}{10}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$