פתור את {l}{3(2x+1)-5(y-3)=1}{5(1-x)-4(2y+1)=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x + 1 ) - 5 ( y - 3 ) = 1 } \\ { 5 ( 1 - x ) - 4 ( 2 y + 1 ) = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2x+1.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎y-3.

$$6x+3-5y+15=1$$

הוסף את ‎3 ל- ‎15.

$$6x-5y+18=1$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$6x-5y=-17$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$6x=5y-17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-17\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎5y-17.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y-17}{6} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3.

$$5\left(-\left(\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}\right)+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{5y-17}{6}.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{17}{6}+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

הוסף את ‎\frac{17}{6} ל- ‎1.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-5y+23}{6}.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-4\left(2y+1\right)=3$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2y+1.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-8y-4=3$$

הוסף את ‎-\frac{25y}{6} ל- ‎-8y.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{115}{6}-4=3$$

הוסף את ‎\frac{115}{6} ל- ‎-4.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{91}{6}=3$$

החסר ‎\frac{91}{6} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{73}{6}y=-\frac{73}{6}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{73}{6}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5-17}{6}$$

הוסף את ‎-\frac{17}{6} ל- ‎\frac{5}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

פשט את המשוואה הראשונה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2x+1.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎y-3.

$$6x+3-5y+15=1$$

הוסף את ‎3 ל- ‎15.

$$6x-5y+18=1$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$6x-5y=-17$$

פשט את המשוואה השניה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית.

$$5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-x+1.

$$-5x+5-4\left(2y+1\right)=3$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2y+1.

$$-5x+5-8y-4=3$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-4.

$$-5x-8y+1=3$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$-5x-8y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&-\frac{5}{73}\\-\frac{5}{73}&-\frac{6}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-17\right)-\frac{5}{73}\times 2\\-\frac{5}{73}\left(-17\right)-\frac{6}{73}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=1$$