פתור את {l}{2x-y=2}{4y-x=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 4 y - x = - 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-y=2,-x+4y=-1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-y=2$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+4y=-1.

$$-\left(\frac{1}{2}y+1\right)+4y=-1$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{y}{2}+1.

$$-\frac{1}{2}y-1+4y=-1$$

הוסף את ‎-\frac{y}{2} ל- ‎4y.

$$\frac{7}{2}y-1=-1$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{2}y=0$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-y=2,-x+4y=-1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\times 4-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 4-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\times 2+\frac{1}{7}\left(-1\right)\\\frac{1}{7}\times 2+\frac{2}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-y=2,-x+4y=-1$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-2x-\left(-y\right)=-2,2\left(-1\right)x+2\times 4y=2\left(-1\right)$$

פשט.

$$-2x+y=-2,-2x+8y=-2$$

החסר את ‎-2x+8y=-2 מ- ‎-2x+y=-2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+2x+y-8y=-2+2$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎2x. האיברים ‎-2x ו- ‎2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y-8y=-2+2$$

הוסף את ‎y ל- ‎-8y.

$$-7y=-2+2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎2.

$$-7y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎-x+4y=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=0$$