פתור את {l}{2x-7y=6}{x-2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 7 y = 6 } \\ { x - 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-7y=6,x-2y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-7y=6$$

הוסף ‎7y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=7y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(7y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎7y+6.

$$x=\frac{7}{2}y+3$$

השתמש ב- ‎\frac{7y}{2}+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-2y=0.

$$\frac{7}{2}y+3-2y=0$$

הוסף את ‎\frac{7y}{2} ל- ‎-2y.

$$\frac{3}{2}y+3=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{2}y=-3$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=\frac{7}{2}y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{7}{2}\left(-2\right)+3$$

הכפל את ‎\frac{7}{2} ב- ‎-2.

$$x=-7+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-7.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-7y=6,x-2y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-7\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-7\right)}&-\frac{-7}{2\left(-2\right)-\left(-7\right)}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-\left(-7\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6\\-\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-4,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-7y=6,x-2y=0$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2x-7y=6,2x+2\left(-2\right)y=0$$

פשט.

$$2x-7y=6,2x-4y=0$$

החסר את ‎2x-4y=0 מ- ‎2x-7y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x-7y+4y=6$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-7y+4y=6$$

הוסף את ‎-7y ל- ‎4y.

$$-3y=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x-2y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-2\left(-2\right)=0$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-2.

$$x+4=0$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=-2$$