פתור את {l}{2x-3y=18}{3x+4y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 18 } \\ { 3 x + 4 y = - 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=18,3x+4y=-7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=18$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y+18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+18\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎18+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+9$$

השתמש ב- ‎9+\frac{3y}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+4y=-7.

$$3\left(\frac{3}{2}y+9\right)+4y=-7$$

הכפל את ‎3 ב- ‎9+\frac{3y}{2}.

$$\frac{9}{2}y+27+4y=-7$$

הוסף את ‎\frac{9y}{2} ל- ‎4y.

$$\frac{17}{2}y+27=-7$$

החסר ‎27 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{17}{2}y=-34$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{17}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y+9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\left(-4\right)+9$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎-4.

$$x=-6+9$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-6.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=18,3x+4y=-7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 18+\frac{3}{17}\left(-7\right)\\-\frac{3}{17}\times 18+\frac{2}{17}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=18,3x+4y=-7$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 18,2\times 3x+2\times 4y=2\left(-7\right)$$

פשט.

$$6x-9y=54,6x+8y=-14$$

החסר את ‎6x+8y=-14 מ- ‎6x-9y=54 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-9y-8y=54+14$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-9y-8y=54+14$$

הוסף את ‎-9y ל- ‎-8y.

$$-17y=54+14$$

הוסף את ‎54 ל- ‎14.

$$-17y=68$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-17.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎3x+4y=-7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+4\left(-4\right)=-7$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-4.

$$3x-16=-7$$

הוסף ‎16 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-4$$