פתור את {l}{2x+y=4}{3x-5y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { 3 x - 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{27}{13} = 2\frac{1}{13} \approx 2.076923077$$

$$y=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=4,3x-5y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=4$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y+4.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-5y=7.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+2\right)-5y=7$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{y}{2}+2.

$$-\frac{3}{2}y+6-5y=7$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎-5y.

$$-\frac{13}{2}y+6=7$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{13}{2}y=1$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{13}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{2}{13}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2}{13} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{13}\right)+2$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-\frac{2}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1}{13}+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎\frac{1}{13}.

$$x=\frac{27}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{27}{13},y=-\frac{2}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=4,3x-5y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-5\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\\\frac{3}{13}\times 4-\frac{2}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{13}\\-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{27}{13},y=-\frac{2}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=4,3x-5y=7$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3y=3\times 4,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 7$$

פשט.

$$6x+3y=12,6x-10y=14$$

החסר את ‎6x-10y=14 מ- ‎6x+3y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+3y+10y=12-14$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y+10y=12-14$$

הוסף את ‎3y ל- ‎10y.

$$13y=12-14$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-14.

$$13y=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$y=-\frac{2}{13}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2}{13} במקום y ב- ‎3x-5y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-5\left(-\frac{2}{13}\right)=7$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-\frac{2}{13}.

$$3x+\frac{10}{13}=7$$

החסר ‎\frac{10}{13} משני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{81}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{27}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{27}{13},y=-\frac{2}{13}$$