פתור את {l}{2x+3y=15}{x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 15 } \\ { x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{39}{7} = 5\frac{4}{7} \approx 5.571428571$$

$$y = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=15,x-2y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=15$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+15.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+15}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-2y=3.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}-2y=3$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎-2y.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}=3$$

החסר ‎\frac{15}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{9}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{9}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{9}{7} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{7}+\frac{15}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{9}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{27}{14}+\frac{15}{2}$$

הוסף את ‎\frac{15}{2} ל- ‎-\frac{27}{14} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{39}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{39}{7},y=\frac{9}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=15,x-2y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 15+\frac{3}{7}\times 3\\\frac{1}{7}\times 15-\frac{2}{7}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{7}\\\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{39}{7},y=\frac{9}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=15,x-2y=3$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2x+3y=15,2x+2\left(-2\right)y=2\times 3$$

פשט.

$$2x+3y=15,2x-4y=6$$

החסר את ‎2x-4y=6 מ- ‎2x+3y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+3y+4y=15-6$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y+4y=15-6$$

הוסף את ‎3y ל- ‎4y.

$$7y=15-6$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-6.

$$7y=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=\frac{9}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{9}{7} במקום y ב- ‎x-2y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-2\times \frac{9}{7}=3$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{9}{7}.

$$x-\frac{18}{7}=3$$

הוסף ‎\frac{18}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{39}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{39}{7},y=\frac{9}{7}$$