פתור את {l}{2p+3x=10}{p-x+2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 x = 10 } \\ { p - x + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור p, x

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$p=\frac{4}{5}=0.8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור p על-ידי בידוד p בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2p+3x=10$$

החסר ‎3x משני אגפי המשוואה.

$$2p=-3x+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3x+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3x+10.

$$p=-\frac{3}{2}x+5$$

השתמש ב- ‎-\frac{3x}{2}+5 במקום ‎p במשוואה השניה, ‎p-x+2=0.

$$-\frac{3}{2}x+5-x+2=0$$

הוסף את ‎-\frac{3x}{2} ל- ‎-x.

$$-\frac{5}{2}x+5+2=0$$

הוסף את ‎5 ל- ‎2.

$$-\frac{5}{2}x+7=0$$

החסר ‎7 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{2}x=-7$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{14}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{14}{5} במקום x ב- ‎p=-\frac{3}{2}x+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את p ישירות.

$$p=-\frac{3}{2}\times \frac{14}{5}+5$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{14}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$p=-\frac{21}{5}+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-\frac{21}{5}.

$$p=\frac{4}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10+\frac{3}{5}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 10-\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה p ו- x.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

כדי להפוך את ‎2p ו- ‎p לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2p+3x=10,2p+2\left(-1\right)x+2\times 2=0$$

פשט.

$$2p+3x=10,2p-2x+4=0$$

החסר את ‎2p-2x+4=0 מ- ‎2p+3x=10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2p-2p+3x+2x-4=10$$

הוסף את ‎2p ל- ‎-2p. האיברים ‎2p ו- ‎-2p מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3x+2x-4=10$$

הוסף את ‎3x ל- ‎2x.

$$5x-4=10$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$5x=14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{14}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{14}{5} במקום x ב- ‎p-x+2=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את p ישירות.

$$p-\frac{14}{5}+2=0$$

הוסף את ‎-\frac{14}{5} ל- ‎2.

$$p-\frac{4}{5}=0$$

הוסף ‎\frac{4}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$p=\frac{4}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$